Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат

Пытьев Ю.П.

Столичный муниципальный институт, Москва, Наша родина

1. Введение

            Отлично понятно, что изображения одной и той же сцены, приобретенные при разных критериях освещения и(либо) измененных[1] оптических свойствах объектов могут отличаться конструктивно. Это событие порождает значимые трудности в прикладных задачках анализа и интерпретации изображений реальных сцен, в каких решение должно не зависеть от Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат критерий регистрации изображений. Идет речь, к примеру, о задачках выделения неведомого объекта на фоне известной местности, известного объекта на случайном фоне при неконтролируемых критериях освещения, о задачке совмещения изображенний одной и той же сцены, приобретенных в разных спектральных спектрах и т.д.

            Способы морфологического анализа, разработанные более 10 лет Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат тому вспять, [1-5], для решения перечисленных задач, были в главном нацелены для внедрения к черно-белым изображениям[2] и оказались довольно действенными, [5-11].

            Меж тем, само мало два происшествия указывают на необходимость разработки морфологических способов анализа цветных изображений. Во-1-х, в задачке обнаружения и выделения объекта последний, обычно, сначала цветом Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат отличается от фона. Во-2-х, описание формы изображения в определениях цвета позволит фактически убрать эффект теней и воздействие неопределенности в пространственном рассредотачивании интенсивности спектрально однородного освещения.

2. Цвет и яркость спектозонального изображения.

   Разглядим некие нюансы теории цвета так именуемых многоспектральных (спектрозональных, [13]) изображений, аналогичной традиционной колориметрии [12]. Будем считать данными n сенсоров излучения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат со спектральными чувствительностями  j=1,2,...,n, где l(0,¥) - длина волны излучения. Их выходные сигналы, отвечающие сгустку излучения со спектральной плотностью e(l)0, lÎ(0,¥), дальше именуемой излучением, образуют вектор , w(×)= . Определим суммарную спектральную чувствительность сенсоров , lÎ(0,¥), и соответственный суммарный сигнал  назовем яркостью излучения e(×). Вектор  назовем цветом излучения e Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат(×). Если  цвет e(×) и само излучение назовем черным. Так как равенства  и  эквивалентны, равенство  имеет смысл и для темного цвета, при этом в данном случае  - случайный вектор, яркость оторого равна единице. Излучение e(×) назовем белоснежным и его цвет обозначим  если отвечающие ему выходные сигналы всех сенсоров схожи:

.

Векторы  , и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат   , , комфортно считать элементами n-мерного линейного места . Векторы fe, надлежащие разным излучениям e(×), содержатся в  конусе .  Концы векторов  содержатся в огромном количестве , где Ï - гиперплоскость .

            Дальше подразумевается, что всякое излучение  , где E - выпуклый конус излучений, содержащий вкупе с хоть какими излучениями  все их выпуклые композиции (консистенции)  Поэтому векторы  в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат  образуют выпуклый конус , а векторы .

            Если то и их аддитивная смесь . Для нее

                   .                                             (1)

Отсюда следует

            Лемма 1. Яркость fe и цвет  je хоть какой аддитивной консистенции e(×) излучений e1(×),...,em(×), m=1,2,... определяются яркостями и цветами слагаемых.

            Подчеркнем, что равенство , значащее факт совпадения яркости и цвета излучений e(×) и , обычно, содержит сравнимо маленькую информацию Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат об их относительном спектральном составе. Но подмена e(×) на  в хоть какой аддитивной консистенции излучений не изменит ни цвета, ни яркости последней.

            Дальше подразумевается, что вектор w(×) такой, что в E можно указать базисные излучения , для которых векторы , j=1,...,n, линейно независимы. Так как цвет таких излучений обязательно отличен от Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат темного, их яркости будем считать единичными, , j=1,...,n. В таком случае излучение  характеризуется только цветом , j=1,...,n.

            Для всякого излучения e(×) можно записать разложение

,                                                                      (1*)

в каком  - координаты  в базисе ,

либо, в виде выходных сигналов сенсоров излучения, - , где , , - выходной сигнал i-го сенсора, отвечающий j-ому излучению ej(×), i Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат, j=1,...,n. Матрица  - стохастическая, так как ее матричные элементы как яркости базисных излучений  неотрицательны и , j=1,...,n. При всем этом яркость  и вектор цвета , , j=1,...,n, (конец которого лежит в Ï) определяются координатами aj и цветами излучений , j=1,...,n, и не зависят конкретно от спектрального состава излучения e Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат(×).

            В ряде всевозможных случаев белоснежное излучение естественно определять исходя из базисных излучений, а не из выходных сигналов сенсоров, считая белоснежным всякое излучение, которому в (1*) отвечают равные координаты: .

            Заметим, что слагаемые в (1*), у каких aj<0,[3] на физическом уровне интерпретируются как надлежащие излучениям, "помещенным" в левую часть равенства (1*) с коэффициентами -aj>0: . В таковой форме равенство (1*) представляет “баланс излучений”.

            Определим в  скалярное произведение  и векторы , биортогонально сопряженные с : , i,j Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат=1,...,n.

            Лемма 2. В разложении (1*) ,  j=1,...,n, . Яркость , где , при этом вектор y ортогонален гиперплоскости Ï, потому что , i,j=1,...,n.

            Что касается скалярного проиведения , то его естественно определять так, чтоб выходные сигналы сенсоров  были координатами  fe в неком ортонормированном базисе . В этом базисе конус . Заметим, что для всех векторов  и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат, тем паче, для , [4].

            Пусть Х - поле зрения, к примеру,  ограниченная область на плоскости R2, либо на сетке ,  спектральная чувствительность j-го сенсора излучения, расположенного  в точке   ;   - излучение, попадающее в точку . Изображением назовем векторнозначную функцию

                                                                           (2**)

            Поточнее, пусть Х - поле зрения, (Х, С, m) - измеримое место Х с мерой m Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат, C - s-алгебра подмножеств X. Цветное (спектрозональное) изображение определим равенством

   ,                                                                     (2)

в каком практически для всех , , - m-измеримые функции на поле зрения X, такие, что

  .

Цветные изображения образуют подкласс функций  лебеговского класса  функций . Класс цветных изображений обозначим LE,n.

            Вобщем, для упрощения терминологии дальше хоть какой элемент  называется цветным изображением, а Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат условие

                                                                    (2*)

условием физичности изображений f(×).

            Если f(×) - цветное изображение (2), то , как несложно проверить, - черно-белое изображение [2], т.е. , . Изображение  , назовем черно-белым вариантом цветного изображения f(×), а цветное изображение , f(x)0, xÎX - цветом изображения f(×). В точках огромного количества Â={xÎX: f(x)=0} темного цвета j(x), xÎÂ, - произвольные векторы из Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат , удовлетворяющие условию: яркость j(x)=1. Черно-белым вариантом цветного изображения f(×) будем также именовать цветное изображение b(×), имеющее в каждой точке Х ту же яркость, что и f(×), b(x)=f(x), xÎX, и белоснежный цвет, b(x)=b(x)/b(x)=b, xÎX.

3. Форма цветного Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат изображения.

            Понятие формы изображения призвано охарактеризовать форму изображенных объектов в определениях характерности изображений, инвариантных относительно определенного класса преобразований изображения, моделирующих меняющиеся условия его регистрации. К примеру, достаточно нередко может изменяться освещение сцены, а именно, при фактически постоянном спектральном составе может конструктивно изменяться рассредотачивание интенсивности освещения сцены. Такие конфигурации Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат освещения в формуле (2**) выражаются преобразованием , в каком множитель k(x) модулирует яркость изображения  в каждой точке при постоянном рассредотачивании цвета. При всем этом в каждой точке у вектора f(x) может поменяться длина, но направление останется прежним.

            Часто изменение рассредотачивания интенсивности освещения сопровождается значимым конфигурацией и его спектрального Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат состава, но - пространственно однородным, одним и этим же в границах всей изображаемой сцены. Так как меж диапазоном излучения e и цветом j нет взаимно конкретного соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f(x) в определениях преобразования его цвета j(×). Для этого определим отображение A(×): , ставящее в соответствие каждому вектору цвета подмножество поля Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат зрения в точках которого изображение , имеет неизменный цвет .

            Пусть при рассматриваемом изменении освещения и, соответственно, ; предлагаемая модель преобразования изображения заключается в том, что цвет  преобразованного изображения должен быть также неизменным на каждом огромном количестве A(j), хотя, вообщем говоря, - другим, хорошим от j. Характекрным в этом случае является тот факт Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат, что равенство  влечет . Если  - самое детализированное изображение сцены, то, вообщем говоря, на разных огромных количествах A(j¢) и A(j) цвет изображения  может оказаться одинаковым[5].

Обычно, следует учесть непостоянство оптических черт сцены и т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно преобразования из Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат выделенного класса и, более того, должна определять изображение с точностью до случайного преобразования из этого класса.

            Для определения понятия формы цветного изображения f(×) на    удобно ввести частичный порядок p , т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1) , 2) , , то , ; отношение p должно быть согласованным с определением цветного изображения (с условием физичности), а Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат конкретно, , если . Отношение p интерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии[2], а конкретно,  означает, что изображения f(×) и g(×) сравнимы по форме, при этом форма  g(×)  не труднее, чем форма f(×).      Если  и , то f(×) и g(×) назовем совпадающими по форме (изоморфными), f(×) ~ g(×). К Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат примеру, если f(×) и g(×) - изображения одной и той же сцены, то g(×), грубо говоря, охарактеризовывает форму изображенных объектов не поточнее (подробнее, детальнее), чем f (×), если .

            В рассматриваемом выше примере преобразования изображений , если меж огромными количествами A(j),  и A¢(j¢),  существует взаимно-однозначное соответствие, т.е., если Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат существует функция , такая, что A¢(j¢(j))= A(j), , при этом , если . В данном случае равенства  и  эквивалентны,  и  изоморфны и идиентично детально охарактеризовывают сцену, хотя и в различных цветах.

            Если же  не взаимно совершенно точно, то A¢(j¢)=U A(j) и . В данном Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат случае равенство  влечет  (но не эквивалентно) ,  передает, вообщем говоря, не все детали сцены, выставленные в .

            Пусть, скажем, g(×) - черно-белый вариант f(×), т.е. g(x)=f(x) и g(x)/g(x)=b, xÎX. Если преобразование  - следствие изменившихся критерий регистрации изображения, то, естественно, . Аналогично, если f Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат(×), g(×) - изображения одной и той же сцены, но в g(×), вследствие неисправности выходные сигналы неких датчиков равны нулю, то . Пусть  F - некая полугруппа преобразований , тогда для хоть какого преобразования FÎF , так как, если некие детали формы объекта не отражены в изображении f(×), то они, тем паче, не будут отражены в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат g(×).

            Формой  изображения f(×) назовем огромное количество изображений , форма которых не труднее, чем форма f`(×), и их пределов в (черта символизирует замыкание в ). Формой изображения f(×) в широком смысле назовем малое линейное подпространство , содержащее  . Если считать, что  для  хоть какого изображения , то это будет означать, что отношение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат p безпрерывно относительно сходимости в   в том смысле, что .

            Разглядим сейчас более тщательно понятие формы для неких соответствующих классов изображений и их преобразований.

4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного изображения.

            В почти всех фактически принципиальных задачках форма объекта на изображении может быть охарактеризована специальной структурой излучения, достигающего поле зрения X в виде Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат   здесь  - индикаторные функции непересекающихся подмножеств Аi, i=1,…...,N, положительной меры поля зрения Х, на каждом из которых функции , ,  j=1,...,n, i=1,...,N, непрерывны.  Так как согласно лемме 2

   ,                              (3)

то цветное изображение fe(×), такового объекта охарактеризовывает его форму непрерывным рассредотачиванием яркости и цвета на каждом подмножестве Ai, i=1,...,N. Для изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат ,  где , также типично напрерывное рассредотачивание яркости и цвета на каждом Ai, если , - непрерывные функции.

Если, а именно, цвет и яркость  постоянны на Ai, i=1,...,N, то это правильно и для всякого изображения , если  не зависит очевидно от .  Для такового изображения примем последующее представление:

,                     (4)

его черно-белый вариант

                                                                            (4*)

на каждом Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат Ai  имеет постоянную яркость , и цвет изображения (4)

                                                                 (4**)

  не изменяется на Ai и равен , i=1,...,N.

            Так как для реальных изображений должно быть выполнено условие физичности (2*), , то форму изображения (4), имеющего на разных огромных количествах Аi имеет несовпадающие яркости   и разные цвета , определим как выпуклый замкнутый в конус:

  .           (4***)

v(a), разумеется, содержится в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат n×N мерном линейном подпространстве

  ,            (4****)

 которое назовем формой a(×) в широком смысле.

            Форму в широком смысле хоть какого изображения a(×), у которого не непременно различны яркости и цвета на разных подмножествах Ai ,i=1,...,N, определим как линейное подпространство , натянутое не вектор-функции Fa(×),FÎF, где Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат F - класс преобразований , определенных как преобразования векторов a(x)®Fa(x) во всех точках xÎX; тут F - хоть какое преобразование . Тот факт, что F значит как преобразование , так и преобразование , не должен вызывать недоразумения.

            Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не труднее, чем форма a(×) (4), так как некие из Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат их могут иметь одно и то же значение яркости либо(и) цвета на разных огромных количествах Аi, i=1,…………..,N. Также огромного количества оказываются, по существу, объединенными в одно, что и приводит к упрощению формы изображения, так как оно отражает меньше деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание касается и L Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат(a(×)), если идет речь о форме в широком смысле.

Лемма 3. Пусть {Аi} - измеримое разбиение X: .

Изображение (3) имеет на каждом подмножестве Ai :

- постоянную яркость  и цвет  , если и только если производится равенство (4);

- неизменный цвет , если и только если в (3)                                                            ;

- постоянную яркость fi , i=1,...,N, если и только если в (3)  не Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат зависит от  , i=1,…...,N.

            Подтверждение .     На огромном количестве Ai яркость и цвет изображения (3) равны соответственно[6]

                                     ,  , i=1,.…..,N.

            Если выполнено равенство (4), то   и  от  не зависят. Напротив, если  и , то и , т.е. производится (4).

            Если   , то цвет  не находится в зависимости от  . Напротив, пусть   не находится в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат зависимости от . В силу линейной независимости  координаты j(i)(x) не зависят от  , т.е.  и, как следует,    где  - яркость на A i  и . Последнее утверждение разумеется n

            Цвет изображения определяется как электродинамическими качествами поверхности изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего электрического излучения в том спектре, который употребляется для Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат регистрации изображения. Идет речь о спектральном составе излучения, покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное излучения объекта. Так как спектральный состав падающего излучения, обычно, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в значимой степени зависит и от Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат критерий “освещения”. Потому на практике в задачках морфологического анализа цветных изображений сцен принципиальное значение имеет понятие формы изображения, имеющего неизменный цвет и случайное рассредотачивание яркости в границах данных подмножеств Ai , i=1,...,N, поля зрения X.

            Итак, пусть в согласии с леммой 3

 ,                                        (5)

где,  - индикаторная функция Ai, , функция gi Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат(×) задает рассредотачивание яркости

                                                              (6)

в границах Ai  при неизменном цвете

,  i=1,...,N,                       (7)

при этом для изображения (5) цвета j(i), i=1,.…..,N, числятся попарно разными, а функции  g(i), i=1,.…..,N, - удовлетворяющими условиям  i=1,.…..,N.

            Несложно увидеть, что в выражениях (5),(6) и (7) без утраты общности можно принять условие нормировки   , позволяющее упростить выражения (6) и (7)  для рассредотачиваний яркости Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат и цвета. С учетом нормировки рассредотачивание яркости на Ai задается функцией  а цвет на Ai равен

                            (7*)

            Форму изображения (5) определим как класс всех изображений

                                              (8)

,                                                    

каждое из которых, как и изображение (5), имеет неизменный цвет в границах каждого Ai, i=1,...,N. Форма таких изображений не труднее, чем форма f(×) (5), так как Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат в изображении  на неких разных подмножествах Ai, i=1,...,N, могут совпадать значения цвета, которые непременрно различны в изображении f(×) (5). Совпадение цвета  на разных подмножествах Ai, i=1,...,N ведет к упрощению формы изображения  по сопоставлению с формой f(×)  (5). Все изображения , имеющие разный цвет на разных Ai, i=1,...,N, числятся изоморфными f Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат(×) (и меж собой), форма других не труднее, чем форма f(×). Если , то, разумеется, .

            Если в (8) яркость , то цвет  на Ai считается произвольным (неизменным), если же  в точках некого подмножества , то цвет  на Ai считается равным цвету  на , i=1,...,N.

            Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат условию задачки все изображения , форма которых не труднее, чем форма , обязаны иметь на Ai, i=1,...,N, тот же цвет, что и у  то следует востребовать, чтоб , в то время, как яркости  остаются случайными (если , то цвет  на Ai определяется равным цвету f(×) на Ai, i=1,...,N).

            Несложно найти форму Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат хоть какого, не непременно мозаичного, изображения f(×) в этом случае, когда допустимы произвольные конфигурации яркости  при постоянном цвете j(x) в каждой точке . Огромное количество, содержащее все такие изображения

                                                  (9)

назовем формой в широком смысле изображения , у которого f(x)¹0, m-почти для всех , [ср. 2].  является линейным подпространством , содержащем Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат всякую форму

,                                       (10)

в какой включение определяет допустимые значения яркости. А именно, если значит, что яркость неотрицательна: , то  - выпуклый замкнутый конус в , принадлежащий .

            Более комфортное описание формы изображения может быть получено на базе способов аппроксимации цветных изображений, в каких форма определяется как оператор лучшего приближения. В последующем параграфе дано представление формы изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат в виде оператора лучшего приближения.

5. Задачки аппроксимации цветных изображений. Форма как оператор лучшего приближения.

            Разглядим сначала задачки приближения кусочно-постоянными (мозаичными)  изображениями. Решение этих задач позволит выстроить форму изображения  в том случае, когда считается, что   для хоть какого преобразования , действующего на изображение  как на вектор  в каждой точке  и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат оставляющего  элементом , т.е. изображением. Форма в широком смысле  определяется как оператор  наилучшего приближения изображения  изображениями

                 

где - класс преобразований , таковой, что . По другому можно считать, что

                                                                (10*)

а  - оператор лучшего приближения элементами огромного количества , форма которых не труднее, чем форма . Характеристическим для  является тот факт, что, если f(x)=f(y), то для Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат хоть какого .

5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых постоянны на подмножествах разбиения  поля зрения X.

            Задано разбиение , требуется найти яркость и цвет лучшего приближения на каждом . Разглядим задачку лучшего приближения в  цветного изображения f(×) (2) изображениями (4), в каких считается данным разбиение  поля зрения X  и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат требуется найти  из условия

                           (11)

            Аксиома 1.  Пусть . Тогда решение задачки (11) имеет вид

,  i=1,...,N,  j=1,...,n,                                  (12)

и разыскиваемое изображение (4) задается равенством

 .                (13)

Оператор  является ортогональным проектором на линейное подпространство (4****)  изображений (4), яркости и цвета которых не меняются в границах каждого Ai , i=1,...,N.

            Черно-белый вариант  (4*) цветного изображения (4) является лучшей в  аппроксимацией черно-белого варианта  цветного изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат f(×) (2), если цветное изображение (4) является лучшей в  аппроксимацией цветного изображения f(×) (2). Оператор , является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых постоянна в границах каждого .

В точках огромного количества  цвет (4**) лучшей аппроксимации (4) цветного изображения f(×) (2) является цветом аддитивной консистенции составляющих f(×) излучений, которые попадают на .

Подтверждение.     Равенства (12) - условия Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат минимума положительно определенной квадратичной формы (11), П - ортогональный проектор, так как в задачке (11) лучшая аппроксимация - ортогональная проекция f(×) на . 2-ое утверждение следует из равенства

, вытекающего из (13). Последнее утверждение следует из равенств

,i=1,...,N вытекающих из (12) и равенства (1), в каком индекс k следует поменять на xÎX.   ■

            Замечание 1. Для Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат хоть какого измеримого разбиения  ортогональные проекторы  и  определяют соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4), цвет и яркость которого, неизменные в границах каждого , различны для разных , ибо , и форму в широком смысле черно-белого изображения, яркость которого постоянна на каждом  и различна для различных ,[2].

Если учитывать, условие физичности (2*), то формой Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат цветного изображения следует считать проектор  на выпуклый замкнутый конус  (4***)

Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор  на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что  [2]. Дело в том, что оператор   определяет форму   изображения (4), а конкретно

 - огромное количество собственных функций оператора . Так как   f(×) - лучшее приближение изображения  изображениями из , для хоть какого изображения Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат  из  и только для таких - . Потому проектор  можно отождествить с формой изображения (4).

            Аналогично для черно-белого изображения a(×)

,[7] [2]. И проектор  можно отождествить с формой изображения (4*), как это изготовлено в работах [2,3].

            Примечания.

            Формы в широком смысле не определяются связью задач лучшего приближения элементами  и , которая известна как транзитивность проецирования Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат. Конкретно, если  оператор лучшего в  приближения злементами выпуклого замкнутого (в  и в ) конуса , то  . По другому говоря, для определения лучшего в  приближения  элементами  можно сначала отыскать ортогональную проекцию  изображения  на , а потом  спроецировать в  на . При всем этом конечномерный проектор  для каждого определенного конуса  может быть реализован способом Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат динамического программирования, а для многих задач морфологического анализа изображений достаточным оказывается внедрение только проектора П .

            Форма в широком смысле  (4***) изображения (4) на сто процентов определяется измеримым разложением , последнее, в свою очередь определяется изображением

,                                           

если векторы  попарно различны. Если при всем этом , то форма в широком смысле  может быть определена и как оператор П Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат ортогонального проецирования на , определенный равенством (13).

            Поглядим, каким образом пользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство  (10*) для случайного изображения . Пусть  - огромное количество значений  и  - измеримое разбиение X , порожденное , в каком  - подмножество X , в границах которого изображение  имеет неизменные яркость Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат и цвет, определяемые вектором , если .

            Но для отысканного разбиения условие , вообщем говоря, неосуществимо и, как следует, аксиома 1 не позволяет выстроить ортогональный проектор П на . Покажем, что П можно получить как предел последовательности конечномерных ортогональных проекторов. Заметим сначала, что хоть какое изображение  можно представить в виде предела (в ) подабающим образом Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат организованной последовательности мозаичных изображений

                            (*)

где  - индикатор огромного количества , принадлежащего измеримому разбиению

            В (*) можно, к примеру, использовать так именуемую исчерпающую последовательность разбиений [], удовлетворяющую последующим условиям

- -  C - измеримо, ;

- N+1-oe разбиение является продолжением N-го, т.е. для хоть какого , найдется i=i(j), , такое, что ;

- малая s-алгебра, содержащая все  , совпадает с C Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат.

            Лемма (*). Пусть  - исчерпающая последователь-ность разбиений X и - то огромное количество из , которое содержит . Тогда для хоть какой C-измеримой функции

   

и m-почти для всех    [    ].            n

            Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П случайного изображения . Пусть  - малая s-алгебра, относительно которой измеримо , т.е. пусть , где  - прототип борелевского Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат огромного количества , B - s-алгебра борелевских множеств . Заменим в критериях, определяющих исчерпающую последовательность разбиений, C на  и выберем эту, зависящую от , исчерпающую последовательность (  - измеримых) разбиений в лемме (*).

            Аксиома (*). Пусть , - исчерпающая последовательность разбиений  X, при этом - малая s-алгебра, содержащая все  и П(N) - ортогональный проектор , определенный равенством ,

            Тогда

1) для хоть Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат какого -измеримого изображения   и практически для всех ,             ,

2) для хоть какого изображения  при    (в ), где П - ортогональный проектор на .

            Подтверждение. 1-ое утверждение конкретно следует из леммы (*) и определения . Для подтверждения второго утверждения заметим, что, потому что A(N+1) - продолжение разбиения A(N), N=1,2,..., то последовательность проекторов П(N), N=1,2,..., однообразно Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат неубывает:  и поэтому сходится (поточечно) к некому ортогональному проектору П. Потому что  - огромное количество всех -измеримых изображений и их пределов (в ), а в силу леммы (*) для хоть какого -измеримого изображения

  , то для хоть какого изображения   и для хоть какого  , ибо -измеримо, N=1,2,...           n

            Вопрос о том, каким Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат образом может быть построена исчерпающая последовательность разбиений, дискуссируется в последующем пт.

            Заданы векторы f1,...,fq, требуется найти разбиение , на огромных количествах которого лучшее приближение воспринимает соответственно значенния f1,...,fq. Разглядим задачку приближения цветного изображения f(×), в какой задано не разбиение  поля зрения X, а векторы  в , и требуется выстроить Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат измеримое разбиение поля зрения, такое, что цветное изображение  - лучшая в  аппроксимация f(×). Потому что

,              (14*)

то в Ai следует отнести только те точки , для которых , =1,2,...,q, либо, что то же самое, =1,2,...,q. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким огромным количествам, должны быть отнесены к одному из их по произволу Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат. Беря во внимание это, условимся считать, что запись

      ,           (14)

значит, что огромного количества (14) не пересекаются и .

            Чтоб сконструировать этот итог в определениях морфологического анализа, разглядим разбиение , в каком

                           (15)

и звездочка показывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F, действующий из  в  по формуле , , i=1,...,q. Разумеется, F всегда можно Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат согласовать с (14) так, чтоб включения  и , i=1,...,q, можно было считать эквивалентными. [8]

            Аксиома 2.     Пусть   - данные векторы Rn. Решение задачки

лучшего в  приближения изображения f(×) изображениями  имеет вид , где  - индикаторная функция огромного количества . Огромное количество  определено равенством (15). Нелинейный оператор , как всякий оператор лучшего приближения удовлетворяет условию F2=F, т.е. является Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат пректором.

            Замечание 2. Если данные задачки доступны только в черно-белом варианте, другими словами заданы числа , i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию , то, как показано в [3], разыскиваемое разбиение X состоит из множеств

 

где , и имеет не много общего с разбиением (14).

            Замечание 3. Выберем векторы fi, i=1,..,q  единичной длины: , i=1,...,q Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат. Тогда

.                 (16)

            Огромного количества (16) являются конусами в Rn , ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что соответственное приближение  изображения f(×) инвариантно относительно случайного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (к примеру ), а именно, относительно образования теней на f(×).

            Замечание 4. Для хоть какого данного набора попарно разных векторов  оператор F Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат, приведенный в аксиоме 2, определяет форму изображения, принимающего значения  соответственно на измеримых огромных количествах  (хоть какого) разбиения X. Всякое такое изображение является недвижной (в ) точкой F: , если , они все изоморфны меж собой. Если некие огромного количества из  - пустые, либо нулевой меры, надлежащие изображения имеют более ординарную форму.

            По другому говоря Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат, в этом случае формой изображения  является огромное количество всех изображений, принимающих данные значения  на огромных количествах положительной меры  любого разбиения X, и их пределов в .

            Аксиомы 1 и 2 позволяют записать нужные и достаточные условия лучшего приближения изображения f(×) изображениями , в каком требуется найти как векторы , так и огромного количества  так, чтоб Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат

.                         

            Следствие 1.

            Пусть Di ,i=1,...,N, - подмножества Rn (15), П - ортогональный проектор (13), , где . Тогда нужные и достаточные условия  суть последующие: , где , .

            Последующая рекуррентная процедура, нужная для уточнения приближений, получаемых в аксиомах 1,2, в неких случаях позволяет решать нареченную задачку. Пусть  - начальные векторы в задачке (14*),  - соответственное наилучшее разбиение (14), F(1)- оператор Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат лучшего приближения и  - невязка. Воспользовавшись аксиомой 1, определим для отысканного разбиения  оптимальные векторы . Согласно выражению (13) , и соответственный оператор лучшего приближения П(1) (13) обеспечит более четкое приближение f(×), чем F(1): . Выберем сейчас в аксиоме 2 , определим соответственное среднее разбиение  и построим оператор лучшего приближения F(2). Тогда . На последующем шаге по разбиению  строим  и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат оператор П(3) и т.д.

            В заключение этого пт вернемся к вопросу о построении исчерпающего -измеримого разбиения X, отвечающего данной функции . Выберем произвольно попарно разные векторы из f(X) и построим по формуле (15) разбиение Rn . Для каждого q=1,2,... образуем разбиение E(N(q)), огромного количества , j=1,...,N(q), которого Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат образованы всеми попарно разными пересечениями  множеств из . Последовательность соответственных разбиений X , i=1,...,N(q), q=1,2...  -измеримы и  является продолжением

5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения  поля зрения X.

            Задано разбиение , требуется найти цвет и рассредотачивание яркостей лучшего приближения на каждом Ai,i=1,...,N.

            Для практики, как уже было Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат отмечено, большой энтузиазм представляет класс изображений (5), цвет которых не меняется в границах неких подмножеств поля зрения, и задачки аппроксимации случайных изображений изображениями такового класса.

            Запишем изображение (5) в виде

                                                                (17)

где  .

            Пусть A1,...,AN - данное разбиение X,  - индикаторная функция Ai, i=1,...,N. Разглядим задачку лучшего в  приближения изображения  изображениями (17), не требуя Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат, чтоб

                       (18)

            Идет речь о задачке аппроксимации случайного изображения  изображениями, у каких яркость может быть случайной функцией из , в то время, как цвет должен сохранять неизменное значение на каждом из данных подмножеств A1,...,AN  поля зрения X, (см. Лемму 3).

            Так как 

то минимум S (19) по   достигается при

,                                                       (20)

и равен

                                                            (21)

Задачка (18) тем сведена к Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат задачке

.                                    (22)

            В связи с последней разглядим самосопряженный неотрицательно определенный оператор 

 .                                                          (23)

            Максимум (неотрицательной) квадратичной формы  на сфере в Rn, как понятно, (см.,к примеру, [11]) достигается на своем векторе yi оператора Фi, отвечающем наибольшему собственному значению >0,

,

и равен , т.е. . Как следует, максимум в (22) равен  и достигается, к примеру, при

            Аксиома Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат 3. Пусть A1,...,AN -заданное измеримое разбиение X, причем[9] m(Ai)>0, i=1,...,N. Решением задачки (18) лучшего приближения изображения  изображениями g(×)  (17) является изображение

                          (24)

            Операторы  ,i=1,...,N, и  - нелинейные (зависящие от f(×) ) проекторы: Пi проецирует в Rn векторы  на линейное подпространство , натянутое на свой вектор  оператора Фi  (23), отвечающий большему собственному значению ri,

;                                                (25)

П проецирует в  изображение Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат  на малое линейное подпространство , содержащее все изображения

Невязка лучшего приближения

                          (19*).

            Подтверждение. Равентство (24) и выражение для Пi следует из (17),(20) и решения задачки на собственные значения для оператора Фi (23). Так как Фi самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задачка на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Фi  неотрицательны и посреди их ri - наибольшее Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат.

            Для подтверждения параметров операторов Пi, i=1,...,N, и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f(×):

                                                          (26*)

Эти равенства, показывающие, что итог двукратного деяния операторов Пi, i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их деяния, позволят считать операторы (26) проекторами.

            Пусть fi - cсобственный вектор Фi , отвечающий наибольшему Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат собственному значению ri. Чтоб найти  следует решить задачку на собственные значения для оператора :

.

Так как rank =1,  имеет единственное положительное собственное значение, которое, как несложно проверить, равно ri, и ему соответствует единственный свой вектор fi. Потому

.

Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для                               n

            Лемма 4. Для хоть какого изображения  решение (24) задачки Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат (18) лучшего приближения единственно и является элементом .

            Подтверждение. Довольно обосновать, что единственный (с точностью до положительного множителя) свой вектор fi оператора (23), отвечающий наибольшему собственному значению ri, можно избрать так, чтоб , так как в таком случае будут выполнены импликации:

,

составляющие содержание леммы. Вправду, если  то согласно (23) , так как включение  означает, что ; отсюда Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат и из (25) получим, что ,i=1,...,N, а потому и в (24) .

            Убедимся в неотрицательности . В ортонормированном базисе e1,...,en, в каком , выходной сигнал i-го сенсора в точке  (см. замечание 1) задачка на собственные значения (23*) имеет вид , p=1,...,n,

где , .

            Потому что матрица  симметрическая и неотрицательно определенная ( ) она имеет Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат n неотрицательных собственных значений , которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов , а так как матричные элементы , то согласно аксиоме Фробенуса-Перрона наибольшее собственное значение  - алгебраически обычное (некратное), а соответственный свой вектор можно выбирать неотрицательным:

. Как следует, вектор fi определен с точностью до положительного множителя , .         n

            Замечание 4.

Если  , т.е. если аппроксимируемое Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат изображение на огромных количествах такого же разбиения имеет неизменный цвет, то в аксиоме 3 , .

            Напротив, если , то

  , т.е.  определяется выражением (17), в котором  .

Итак, пусть в изображении g(×) (17) все векторы f1,.…..,fN попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A1,...,AN попарно различны. Тогда форма в широком смысле  изображения (17) есть огромное количество решений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат уравнения

, ,                                                       (27)

где , fi - свой вектор оператора Фi:  , отвечающий наибольшему собственному значению ri, i=1,...,N . В этом случае , если и только если выполнено равенство (27).

            Оператор П (24), дающий решение задачки лучшего приближения  , естественно отождествить с формой в широком смысле изображения  (17).

            Заданы векторы цвета j1,..., jq, требуется найти разбиение A1,..., Aq Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат, на огромных количествах которого лучшее приближение имеет соответственно цвета  j1,..., jq и рациональные рассредотачивания яркостей [10].

            Идет речь о последующей задачке лучшего в  приближения изображения

.           (28)

            Разглядим сначала задачку (28) не требуя, чтоб . Потому что для хоть какого измеримого

,              (29)

и достигается на

,                                               (30)

то, как несложно убедиться,

,                (31)

где звездочка * значит то же самое, что Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат и в равенстве (14): точки xÎX, в каких производится равенство  могут быть произвольно отнесены к одному из множеств Ai либо Aj.

            Пусть  - разбиение , в каком

                        (32)

а F: Rn-> Rn оператор, определенный условием

                         (33)

Тогда решение задачки (28) можно представить в виде

,                                        (34)

где  - индикаторная функция огромного количества Ai (31), i=1,...,q и F -оператор, действующий Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат в  по формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13).

            Несложно убедиться, что задачка на минимум (29) с условием физичности

              (35)

имеет решение

                (36)

            Соответственно решение задачки (28) с условием физичности имеет вид

,                                   (37)

где  - индикаторная функция огромного количества

,                (38)

            В ряде всевозможных случаев для построения (34) полезно найти оператор F+: Rn-> Rn, действующий согласно формуле

                    (39)

где

, так что ,i=1,...q.  (40)

            Подытожим произнесенное Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат.

            Аксиома 4. Решение задачки (28) лучшего в приближения изображения  изображениями на разыскиваемых огромных количествах A1,...,Aq разбиения X данные цветами j1,..., jq соответственно, дается равенством (34), разыскиваемое разбиение A1,...,Aq определено в (31). Требование физичности лучшего приближения приводит к решению (37) и определяет разыскиваемое разбиение формулами (38). Решение (34) инвариантно относительно хоть какого, а (37) - относительно хоть какого, сохраняющего Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат физичность, преобразования, неизменяющего его цвет.

            Формой в широком смысле изображения, имеющего данный набор цветов  j1,..., jq на неких огромных количествах положительной меры A1,...,Aq разбиение поля зрения можно именовать оператор  (34), формой такового изображения является оператор F+ (37). Всякое такое изображение g(×), удовлетворяющее условиям физичности (неотрицательности яркостей), удовлетворяет уравнению Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат F+g(×)=g(×), те из их, у каких m(Ai)>0, i=1,...,q, изоморфны, другие имеют более ординарную форму.                                    n

            В заключение этого раздела вернемся к понятию формы изображения, данного с точностью до случайного, удовлетворяющего условиям физичности, преобразования яркости. Идет речь о форме изображения , данного рассредотачиванием цвета , при случайном (физичном) рассредотачивании яркости, к Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат примеру, . Для определения формы  рассмотрим задачку лучшего в  приближения изображения  такими изображениями

,                         (41)

            Аксиома 5. Решение  задачи (41) дается равенством

,               (42)

в каком , где  . Невязка приближения

,                      (43)

(   !)                                                       n

            Определение. Формой изображения, данного рассредотачиванием цвета , назовем выпуклый, замкнутый конус изображений

либо - проектор  на .

            Всякое изображение g(×),  рассредотачивание цвета которого есть j(×) и только такое изображение содержится в  и является Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат недвижной точкой оператора

: g(×) = g(×).                                                                                 (#)

            Так как по сути детали сцены, передаваемые рассредотачиванием цвета j(×), не представлены на изображении f(×) = f(×)j(×) в той области поля зрения, в какой яркость f(x)=0, xÎX, будем считать, что  - форма хоть какого изображения f(x) = f(x)j(x),  f Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат(x)>0, xÎX(modm), все такие изображения изоморфны, а форма всякого изображения g(×), удовлетворяющего уравнению (#), не труднее, чем форма f(×).

            Замечание 5. Пусть j1,..., jN  - начальный набор цветов, , A1,...,AN - соответственное среднее разбиение X, отысканное в теореие 4 и

,                                              (34*)

- лучшее приближение f(×). Тогда в равенстве (24)

,                                                                     (24*)

если A1,...,AN - начальное разбиение X в аксиоме Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат 3. Напротив, если A1,...,AN - данное в аксиоме 3 разбиение X и f1,...,fN - собственные векторы операторов Ф1,...,ФN (23) соответственно, отвечающие наибольшим своим значениям, то f1,...,fN  и будет выполнено равенство (24), если в (34*) найти ji как цвет fi в (24), i=1,...,N.

            Проверка этого замечания не представляет затруднений.

В. Случай, когда допускаются Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат маленькие конфигурации цвета в границах каждого Ai, i=1,...,N.

            Очевидно, условие всепостоянства цвета на огромных количествах Ai, i=1,...,N, на практике может производиться только с определенной точностью. Последнюю можно повысить как методом перехода к более маленькому разбиению , так и допустив некие конфигурации цвета в границах каждого Ai, i Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат=1,...,N, к примеру, выбрав заместо (17) класс изображений

                                                        (17*)

в каком  в (3).

            Так как в задачке лучшего приближения f(×) изображениями этого класса предстоит отыскать  , векторы  при любом i=1,...,N, можно считать ортогональными, определив

,                   (*)

из условия минимума невязки по . После чего для каждого i=1,...,N  векторы  должны быть определены из условия

                        (**)

при дополнительном условии Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат ортогональности

. Решение этой задачки дается в последующей лемме

            Лемма 5. Пусть  ортогональные собственные векторы оператора Фi  (23), упорядоченные по убыванию собственных значений:

.

Тогда решение задачки (**) дается равенствами .

            Подтверждение. Заметим, что, так как Фi - самосопряженный неотрицательно определенный оператор, его собственные значения неотрицательны, а его собственные векторы всегда можно избрать так, чтоб они образовали Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат ортогональный базис в Rn. Пусть Pi - ортогонально проецирует в Rn на линейную оболочку  собственных векторов  и

[Pi Фi Pi] - сужение оператора Pi Фi Pi на . Тогда левая часть (*) равна следу оператора [Pi Фi Pi]

, где  - j-ое собственное значение оператора  (см., к примеру, [10]). Пусть . Тогда согласно аксиоме Пуанкаре, [10], , откуда следует утверждаемое в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат лемме.    ■

            Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в рассматриваемом  случае  имеет  место утверждение, аналогичное аксиоме 3.

            Аксиома 3*. Лучшее приближение хоть какого изображения f(×) изображениями (17*) имеет вид

,

            Где : ортогональный проектор на линейную оболочку , собственных векторов задачки

.

            Невязка лучшего приближения равна

.                    n

            Разглядим сейчас задачку лучшего приближения изображения f(×) изображениями (17), в каких заданы и фиксированы Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат векторы , и надлежит найти измеримое разбиение  и функции , как решение задачки

                                    (30)

            При любом разбиении минимум в (30) по  достигается при , определяемых равенством (20). В свою очередь, разумеется, что

                (31)

где точки , в каких производится равенство  могут быть произвольно включены в одно из множеств : или в , или в . Это соглашение отмечено звездочкой Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат в (31).

            Таким макаром подтверждена

            Аксиома 6. Пусть  заданные векторы Rn. Решением задачки (30) является изображение  

  ,

где ортогональный проектор  определен равенством (25), а  - индикаторная функция огромного количества (31), i=1,...,N.  Невязка лучшего приближения равна

.                             n

            Замечание 5.  Потому что при 

,

то условия (31), определяющие разбиение , можно записать в виде

,                                            (32)

показывающем, что огромное количество  в (32) инвариантно относительно хоть какого Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат преобразования изображения , не изменяющего его цвет.

                                                                                                            Аксиомы 3 и 6 позволяют сконструировать нужные и достаточные условия лучшего приближения изображения f(×) изображениями (17), при котором должны быть найдены  и ci0 , i=1,...,N, такие, что

.

            Аксиома 7. Для данного изображения f(×) определим огромного количества  равенствами (32), оператор П - равенством (24),   - равенствами (25). Тогда ,

определено равенством (32), в каком  - свой вектор оператора Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат Фi (23), отвечающий большему собственному значению, при этом в (23) , в конце концов,  будет дано равенством (20), в каком , где  - свой вектор оператора , отвечающий большему собственному значению ; в конце концов,

.            n

            Замечание 6. Последующая итерационная процедура полезна при отыскании : Для изображения f(×) зададим  и по аксиоме 5 найдем  и , потом по аксиоме 3, используя  найдем Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат  и . После чего вновь воспользуемся аксиомой 3 и по  найдем  и  и т.д. Построенная таким макаром последовательность изображений  очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность , k=1,2,.….. однообразно не увеличивается и, как следует, сходится. К огорчению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности .

            Формы  (10) и  (9) комфортно задавать операторами Пf  и П*f соответственно Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат.

            Аксиома 7. Форма  в широком смысле изображения определяется ортогональным проектором П*f :

 ,

при всем этом  и .

            Подтверждение. Потому что для   , то получаем 1-ое утверждение. Для подтверждения второго утверждения разглядим выпуклую задачку на минимум , решение которой определяется критериями (см., к примеру, [11]) . Отсюда следует, что  и тем подтверждено и 2-ое утверждение      n

            Замечание Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат. Потому что , где fi(x) - выходной сигнал i-го сенсора в точке , при этом fi(x)³0 ,i=1,...,n, и, как следует цвет  реальных изображений обязательно имеет неотрицательные , то для реальных изображений , условия  и , эквивалентны. Если же для некого , то условие  не тянет . Заметим также, что для изображений Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат g(×), удовлетворяющих условию , всегда .

            Для спектрозональных изображений свойственна ситуация, при которой k сенсоров регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в спектре видимого света, а другие n-k регистрируют собственное термическое излучение объектов ( в инфракрасном спектре). В таком случае хоть какое изображение можно представить разложением

                                                               (40)

В каком

. Если ИК Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат составляющей солнечного излучения можно пренебречь по сопоставлению с своим излучением объектов, то представляет энтузиазм задачка приближения изображениями f(×) , в каких f1(×) - неважно какая неотрицательная функция из , j1(×) - фиксированное векторное поле цвета, f2(×) - термояркость, j2(×) - термоцвет в точке . Форма П*f видимой составляющие f(×) (40) определяется как оператор лучшего приближения в Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат задачке

, в этом случае

, при этом П*f действует практически только на  "видимую компоненту" g(×), обращая "невидимую, ИК, компоненту" g(×) в ноль.

            Форма ИК составляющие f(×) может быть определена только тогда, когда понятно огромное количество вероятных преобразований j2(×) f2(×).

            Некие внедрения.

            Задачки идентификации сцен.

            Разглядим сначала задачки идентификации сцен по Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат их изображения, неискаженным геометрическими преобразованиями, поворотами, переменами масштаба и т.д. Ограничимся задачками, в каких предъявляемые для анализа изображения получены при изменяющихся и неконтролируемых критериях освещения и неведомых и, вообщем говоря, разных оптических свойствах сцены.

            1). Задачки идентификации при произвольно меняющейся интенсивности освещения.

            Можно ли считать f(×) и g(×) изображениями одной и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат той же сцены, может быть, отличающимя только рассредотачиваниями яркости, к примеру, наличием теней?

            В простом случае для идентификации довольно пользоваться аксиомой 5, а конкретно, f(×) и g(×) можно считать изображениями одной и той же сцены, если существует рассредотачивание цвета , для которого v(j(×)) содержит f(×) и g(×). Если , и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат , то, разумеется, существует , при котором f(x)Îv(j(×)), g(x)Îv(j(×)), а конкретно, , , если , , если , и, в конце концов,  - произвольно, если .

            На практике удобнее использовать другой подход, позволяющий сразу решать задачки совмещения изображений и выделения объектов. Можно ли, к примеру, считать g(×) изображением сцены, представленной Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат изображением f(×)? Ответ следует считать утвердительным, если

.

Тут j(×) - рассредотачивание цвета на изображении f(×), знак ~0 значит, что значение d(g(×)) можно разъяснить наличием шума, каких-то других погрешностей, либо, в конце концов, - наличием либо, напротив, отсутствием объектов объясняющим несовпадение g(×) и f(×) с точностью до преобразования рассредотачивания яркостей. Такие объекты, изменившие Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат рассредотачивание цвета g(×) по сопоставлению с рассредотачиванием цвета f(×), представлены в .

            2).Идентификация при случайном изменении рассредотачивания интенсивности и пространственно однородном изменении спектрального состава освещения.

            Можно ли считать изображением сцены, представленной на изображении f(×), изображение, приобретенное при изменившихся критериях регистрации, к примеру, перемещением либо конфигурацией теней и конфигурацией спектрального Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат состава освещения?

            Пусть П - форма в широком смысле изображения f(×), определенная в аксиоме @, П* - форма f(×). Тогда ответ на поставленный вопрос можно считать утвердительным, если . Если изменение g(×) обосновано не только лишь изменившимися критериями регистрации, но также возникновением и (либо) исчезновением неких объектов, то конфигурации, обусловленные этим последним Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат обстоятельством будут представлены на .

            3). Задачки совмещения изображений и поиска куска.

            Пусть f(×) - данное изображение, AÌX - подмножество поля зрения, cA(×) - его индикатор, cA(×)f(×) -назовем куском изображения f(×) на подмножестве A, представляющем выделенный кусок сцены, изображенной на f(×). Пусть g(×) - изображение той же сцены, приобретенное при других критериях, а именно, к примеру Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат, сдвинутое, повернутое, т.е. геометрически искаженное по сопоставлению с f(×). Задачка заключается в том, чтоб указать на g(×) кусок изображения, представляющий на f(×) кусок сцены и скооперировать его с cA(×)f(×).

            Ограничимся случаем, когда упомянутые геометрические преломления можно моделировать группой преобразований R2->R2, преобразование изображения  назовем сдвигом g Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат(×) на h. Тут

Q(h): Rn->Rn, hÎH, - группа операторов. Векторный сдвиг на h¢ÎH даст

.

            В задачке выделения и совмещения куска разглядим кусок сдвинутого на h изображения g(×) в “окне” A:

                                                                                       (100)

при этом, так как  где  то в (100)  - ограничение на сдвиг “окна” А, которое должно оставаться Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат в границах поля зрения X.

            Если не считая цвета g(×) может отличаться от f(×), скажем, произвольным преобразованием рассредотачивания яркости при постоянном рассредотачивании цвета и  - форма куска f(×), то задачка выделения и совмещения куска сводится к последующей задачке на минимум

.(101)

При всем этом считается, что кусок изображения g(×), соответственный куску cA Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат(×)f(×), будет помещен в “окно”.А методом соответственного сдвига h=h*,  совпадает с cA(×)f(×)  с точностью до некого преобразования рассредотачивания яркости на нем. Это значит, что

.

т.е. в (101) при h=h* достигается минимум.

            4). В ряде всевозможных случаев появляется последующая задачка анализа спектрозональных изображений: выделить объекты которые Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат “видны”, скажем, в первом канале и “не заметны” в других.

            Разглядим два изображения  и . Определим форму в широком смысле  как огромное количество всех линейных преобразований :  (A - линейный оператор R2->R2, не зависящий от xÎX). Для определения проектора на  рассмотрим задачку на минимум

.        [*]

Пусть , , тогда задачка на минимум [*] эквивалентна последующей: tr Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат A*AS - 2trAB ~ . Ее решение  (знаком - обозначено псевдообращение).

=

=

Рис.1.

fe - вектор выходных сигналов сенсоров, отвечающий излучению e(×), je - его цвет; j1,j2,j3, - векторы (цвета) базисных излучений, b - белоснежный цвет, конец вектора b находится на скрещении биссектрис.


Литература.

[1] Пытьев Ю.П. Морфологические понятия в задачках анализа изображений, - Докл. АН СССР Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат, 1975, т. 224, №6, сс. 1283-1286.

[2]  Пытьев Ю.П. Морфологический анализ изображений, - Докл. АН СССР, 1983, т. 296, №5, сс. 1061-1064.

[3]  Пытьев Ю.П. Задачки морфологического анализа изображений, - Математические способы исследования природных ресурсов земли из космоса, ред. Золотухин В.Г., Наука, Москва, 1984, сс. хххх-ххххх.

[4]  Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. ЭВМ анализирует форму изображения, - Познание,сер Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат. Математика, Кибернентика, Москва, 1988, 47 стр.

[5] Yu.P.Pyt’ev. Morphological Image Analysis, Patt. Recogn. and Image Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28.

[6]  Антонюк В.А., Пытьев Ю.П. Спецпроцессоры реального времени для морфологического анализа реальных сцен. Обработка изображений и дистанционное исследования, -Новосибирск, 1981, сс. 87-89.

[7]  Антонюк В.А., Пытьев Ю.П., Рау Э Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат.И. Автоматизация зрительного контроля изделий микроэлектроники,Радиотехника и электроника, 1985, т. ХХХ,№12, сс. 2456-2458.

[8]  Ермолаев А.Г., Пытьев Ю.П. Априорные оценки полезного сигнала для морфологических решающих алглритмов, - Автоматизация, 1984, №5, сс. 118-120.

[9]  Пытьев Ю.П, Задорожный С.С., Лукьянов А.Е. Об автоматизации сравнительного морфологического анализа электронномикроскопических изображений, - Изв. АН СССР, сер. физическая, 1977, т. 41, №11, сс. хххх Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат-хххх.

[10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V. Visilter. Shape analysis using Pyt'ev morphological paradigm and its using in machine vision. Proc. SPIE - Th. Intern. Soc. For Optical Engineering Videometrics III, 1994, v. 2350, pp. 163-167.

[11] Пытьев Ю.П.. Математические способы интерпретации опыта, Высшая школа, 351 стр., 1989.

[12] Майзель С.О Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат. Ратхер Е.С. Цветовые расчеты и измерения. М:Л:Госэнергоиздат 1941, (Труды всесоюзного электротехнического института, вып.56).

[13] P. Kronberg. Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.


[1] К примеру, в связи с конфигурацией времени суток, погоды, времени года и т.п.

[2] Кусок морфологического анализа цветных изображений содержится в работе[3].

[3] вектор fe будет Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат иметь отрицательные координаты, если он не принадлежит выпуклому конусу

                               

[4]черта символизирует замыкание,  - выпуклый замкнутый конус в Rn.

[5] Если  - более детализированное изображение , то некие A(j) могут “ращепиться” на несколько подмножеств A¢(j¢), на каждом из которых цвет  постоянный, но разный на различных подмножествах A¢(j¢ Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат;). Но, так как форма обычно строится исходя из данного изображения f(×), v(f(×)) не может содержать изображения, которые более детально охарактеризовывают изображенную сцену.

[6] Для простоты яркость изображения считается положительной в каждой точке поля зрения Х.

[7]- класс неотрицательных функций  принадлежащих .

[8]Одна и та же буковка F применена как для оператора , так и Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат для оператора . Эта вольность не должна вызывать недоразумения и нередко употребляется в работе.

[9]Если m(As)=0, то в задачке лучшего приближения (18) цвет и рассредотачивание яркости на As можно считать случайными, так как их значения не оказывают влияние на величину невязки s.

[10]Векторы j1,..., jq выбираются, к примеру, сообразно цветам Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - реферат объектов, представляющих энтузиазм.


morfologiya-rotovoj-polosti-graf-struktura.html
morfologiya-srednego-mozga.html
morfologiya-znamenatelnie-chasti-rechi-v-sovremennom-russkom-yazike.html